O átomo de Bohr (Parte 2)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio
Segundo o que foi explicado no modelo atômico de Rutherford, este descrevia o átomo como constituído por uma região central muito pequena, o núcleo, carregado positivamente e ao redor do qual os elétrons carregados negativamente ocupam uma região muito maior. Para os pesquisadores daquela época era difícil aceitar as idéias de Rutherford. Era praticamente impossível imaginar os elétrons girando ao redor do pequeno núcleo como os planetas em suas órbitas ao redor do Sol.
Os elétrons eram partÍculas carregadas e, de acordo com as teorias clássicas do eletromagnetismo, como já foram indicadas, estas partículas deviam “irradiar” ou emitir energia na forma de ondas eletromagnéticas. Como conseqüência, os elétrons perderiam energia neste processo giratório e se precipitariam sobre o núcleo em um movimento espiral como foi ilustrado em 23_MA01_08, na Parte 1 de nossas Leituras. Logo, "o átomo nuclear existiria somente de forma transitória e a matéria estaria se contraindo"!
Os dois resultados vão de encontro ao que tem sido observado e experimentado.

Por outro lado, com base na teoria clássica, se os elétrons giram ao redor do núcleo e ao fazê-lo emitem energia, a freqüência de revolução dos elétrons deve mudar continuamente. Isto implica na emissão de um espectro continuo por parte dos átomos. Esta conclusão também vai de encontro aos resultados experimentais.

Com efeito, já no fim do século XIX, a espectroscopia atômica havia avançado muito e se tinha determinado expressões empíricas (obtidas da experimentação) para o que constitui as series espectrais.

Antes de prosseguir com as idéias de Bohr, vamos introduzir alguns conceitos, o que nos faz afastar um pouco da trajetória histórica seguida.

Espectros luminosos
O procedimento geral seguido para estudar a estrutura atômica provoca modificações no próprio átomo  devido às trocas de energia absorvida ou emitida por ele e isso permitiu um melhor estudo do conjunto dessas radiações, caracterizadas por suas freqüências ou comprimentos de onda. Este conjunto de radiações constitui seu espectro. Para observá-los utilizam-se os espectroscópios, os espectrógrafos etc.

Quando os átomos de uma substância são excitados, por exemplo, fazendo passar uma descarga elétrica através de um gás como o hidrogênio, a radiação emitida tem um “espectro” que consta somente de certos comprimentos de onda que se observam como raias finas com a ajuda de um espectroscópio. Estas raias são dessa substancia, constituindo assim seu espectro de emissão.

Se, por outro lado, se faz passar luz branca (que contem todos os comprimentos de onda visíveis) através de um gás, observa-se que faltam certos comprimentos de onda que correspondem às radiações absorvidas pelos átomos da substancia (gás). Tal fenômeno constitui o espectro de absorção.

Se as idéias clássicas fossem aplicáveis, esses espectros não poderiam ser observados.

Niels Bohr

A primeira explicação, ou uma primeira interpretação teórica dos espectros tomando como base um modelo atômico, foi dada em 1913 pelo físico Niels Bohr, que nessa época trabalhava com Rutherford, em Cambridge. Bohr aceitou o modelo atômico nuclear de Rutherford para explicar a constituição do átomo de hidrogênio. De acordo com este, o hidrogênio era formado por um núcleo carregado positivamente (uma só carga positiva) e um elétron girando ao redor dele. Para explicar as dificuldades, já mencionadas, que a Física clássica opunha a essas idéias, assim como as raias observadas no espectro do hidrogênio, o físico dinamarquês estabeleceu seus postulados que mais tarde apareceriam como resultados da Mecânica Quântica.

Bohr supunha:

1. Que o elétron no átomo de hidrogênio somente podia mover-se em determinadas órbitas, correspondentes a certas energias de ligação, E1, E2, E3, ... En a que chamou de estados estacionários, nos quais, ainda que o elétron se movesse, não emitia radiação. Essas órbitas ou estados estacionários eram tais que o momento angular do elétron* era um múltiplo inteiro de h/2p. O elétron em seu “estado normal” encontra-se na órbita mais próxima do núcleo. * De acordo com a mecânica clássica (e para o caso considerado por Bohr, ou seja, órbitas circulares) a medida do momento angular (L) seria igual a: L = m.v.r

2. Em circunstancias apropriadas, o elétron podia passar de um estado estacionário a outro. Por exemplo, quando se submete o hidrogênio a uma descarga elétrica, dando-lhe energia, o elétron pode absorver esta energia E₁ passando  a estados energéticos mais elevados E₂, E₃ etc.
Se o átomo adquire energia suficiente o elétron pode chegar a ser separado do átomo, ficando este ionizado.
Em caso contrario, se o elétron passa de uma órbita de maior energia para outra de menor energia, como conseqüência da transição, emitirá radiação.

Esta energia radiante, seja emitida ou absorvida, aparecerá como um fóton de freqüência n. Isto é, em geral:

E_o - E_f = hn    ... (9)

onde E_o = Energia inicial, E_f = Energia final, h = Constante da Planck e n = freqüência da radiação.

Se E_f > E_o, o átomo absorverá um fóton; se, pelo contrario, E_o > E_f , emitirá um fóton de freqüência proporcional, em ambos os casos,à diferença de energia.

Bohr conseguiu calcular as energias das órbitas e pôde predizer as freqüências das radiações emitidas pelo elétron ao passar para órbitas diferentes.

De forma surpreendente demonstrou "que esses valores coincidiam com as freqüências determinadas pela técnica experimental". A teoria de Bohr foi generalizada e mais tarde foi modificada com base na mecânica quântica.
Exporemos, de forma simples, como Bohr determinou as energias para os estados estacionários no átomo de hidrogênio.

Cálculos
O átomo de hidrogênio está constituído, de acordo com Bohr, por um núcleo carregado positivamente (próton, de carga +e) e movendo-se ao seu redor, em uma órbita circular, um elétron (carga -e). O elétron move-se, então, pela ação da resultante centrípeta devida à atração eletrostática do núcleo.

De acordo com as leis de Coulomb, esta força de atração eletrostática é dada por:

F_elet. = |e|.|e|/r² = e²/r²

e aplicando a segunda lei de Newton da Dinâmica

F = ma,    onde a = aceleração centrípeta = v²/r , vem     F = m.v²/r   e então:

e²/r² = mv²/r      ou seja,      mv² = e²/r    ... (10)

porém, de acordo com o segundo postulado de Bohr, nos estados estacionários o momento angular é um múltiplo inteiro de h/2p (h = constante de Planck), logo

momento angular = n.h/2p
                     m.v.r = n.h/2p 

Isolando v nessa última, elevando ao quadrado e substituindo na (10), obtemos os raios das órbitas estacionárias:

r = n².h² / (4p².m.e²) = n². r_o    ... (11)
onde     r_o = h²/(4p².m.e²) = 0,53 x 10^-8 cm 

Este valor é uma "constante" que denominamos raio de Bohr.

Se na expressão (11) dermos a n os valores 1,2,3 ... obteremos os distintos raios das órbitas estacionarias.

Sendo, por outro lado, a energia total do elétron: E = E_cin. + E_pot.  , com E_cin. = (1/2)m.v²  e, usando a (10) :

E_cin. = e²/2r     ... (12)

O potencial eletrostático que o núcleo de carga +e produz, a uma distancia r, vale: V = e/r  e, então, a energia potencial do elétron será dada por: 

E_pot. = (-e).V = (-e).e/r = -e²/r   ...  (13)

Substituindo em E = E_cin. + E_pot os resultados (12) e (13) teremos:

E = e²/2r - e²/r = -e²/2r    ...  (14)

Na expressão (14), teremos E ==> 0 para r ==> infinito, o  que corresponderia ao átomo ionizado. O sinal menos indica que a energia do átomo decresce a medida que o elétron se aproxima do núcleo. Quanto mais perto uma carga negativa ficar de outra positiva, tanto menor será a energia do sistema.

Se substituirmos o valor do raio r dado pela (11) na equação (14), para a energia, obteremos em geral:

E_n = (-2p².m.e⁴)/(r².h²), que nos dá a energia para os estados estacionários, E₁, E₂ .... E_n com .... n = 1, 2, 3 ... etc. (inteiros). A energia está quantizada!

Se, agora, um elétron passa de um estado E_o a um estado final E_f, de acordo com Bohr, a freqüência do fóton absorvido ou emitido será:

n = (E_o - E_f)/h = [(2p²me⁴)/h³].(1/n_i² - 1/n_f²)

ou seja,                                            n = [(2p²me⁴)/h³].(1/n_i² - 1/n_f²)     ...  (15)

que concorda com os resultados experimentais.

23_MA02_09 - Absorção e emissão de energia segundo Bohr.

Neste modelo simples do átomo de hidrogênio, o elétron pode estar em uma órbita qualquer ou em estados estacionários caracterizados pelos números quânticos 1, 2, 3 ...... n.
Quando o elétron passa de uma órbita qualquer ao estado fundamental, obtém-se a série de Lyman. Se o estado final é n = 2, a serie será a de Balmer e assim sucessivamente, como se indica abaixo.

23_MA02_10 - Transições energéticas que dão origem às séries espectrais.

Apesar do valor extraordinário da teoria de Bohr, esta não foi capaz de explicar inúmeros problemas importantes como, por exemplo, a causa de transições entre certos estados estacionários não ocorrerem nunca, ou melhor dizendo serem proibidas.

De acordo com Heisenberg, a teoria de Bohr falha, “porque as idéias fundamentais em que se baseia: órbitas estacionárias, validez das leis clássicas do movimento etc, não podem ser postas a prova sem cair em graves contradições.

Sommerfeld: Órbitas elÍpticas
Procurando dar maior generalização a teoria de Bohr, Sommerfeld “concedeu” aos elétrons maior liberdade, permitindo a estes moverem-se não somente em órbitas circulares mas também elípticas. Deste modo procurava explicar o caso de átomos mais complicados.

No átomo de Bohr, a posição do elétron ficava definida pelo ângulo descrito. Ao aceitar as idéias de Sommerfeld (órbitas elípticas) supondo o núcleo no foco da elipse descrita, a distancia do núcleo (r) varia, assim como o ângulo descrito q ( teremos duas variáveis).

23_MA02_11 - O elétron descreve órbita elíptica, de acordo com Sommerfeld.

Sommerfeld, manteve invariável a primeira órbita de Bohr (circular) mas adicionou uma elíptica à segunda circular; duas órbitas elípticas à terceira (ver ilustração 23_MA02_12), introduzindo o chamado número quântico azimutal k , além do numero quântico principal n. Assim, para as diferentes órbitas:

n = 1	n = 2
k = 1	k = 1       k = 2

Logo, para cada valor de n havia n órbitas permitidas. As órbitas de mesmo n correspondiam à estados energéticos iguais e as únicas transições permitidas eram aquelas para as quais Dk = +1 ou -1.

As teorias atuais são as que explicam claramente o porque nem todas as transições existem.

23_MA02_12 - Órbitas de Bohr-Sommerfeld para n = 1 e n = 2, no átomo de hidrogênio.

Sommerfeld também procurou explicar o fato de algumas raias especiais de elementos mais complexos que o hidrogênio serem formadas realmente por varias raias, explicando que, devido às interações dos elétrons, certas órbitas elípticas teriam energias ligeiramente diferentes das órbitas circulares.

Apesar destas idéias, Sommerfeld não acrescentou nenhuma contribuição básica ao modelo de Bohr.

O efeito Compton
Não podemos encerrar esta primeira etapa da física no século XX, sem fazer ao menos uma breve menção ao efeito Compton.

Arthur Compton ao estudar o espalhamento de raios X, utilizando como meio espalhador um bloco de carbono, observou que as freqüências dos raios X espalhados diminuíam em certos ângulos.

23_MA02_13 - Experiência de Compton

Para explicar a modificação da freqüência dos raios espalhados, Compton utilizou a teoria quântica da luz. O físico norte-americano propôs que a interação entre um fóton ou quantum de luz e um elétron de um átomo podia ser considerada sob certas condições como a colisão entre duas partículas em mecânica Clássica.

Os elétrons, ligados ao núcleo do átomo por forças eletrostáticas, podiam comportar-se como elétrons livres se a energia (hn) e a quantidade de movimento (hn/c) dos fótons incidentes fosse suficientemente grande.

Utilizando as leis da conservação da energia: hn = hn’ + (1/2) mv² , onde h.n = energia do fóton incidente,  hn’ = energia do fóton espalhado e (1/2)mv² = energia cinética do chamado “elétron de recuo”.

23_MA02_14 - Efeito Compton.

Como o valor da velocidade do “elétron de recuo” está próximo da velocidade da luz, em muitos casos deve-se utilizar a correção relativística para a massa (ver relatividade, nessa Sala 23).

Compton também aplicou a conservação da quantidade de movimento como no caso de duas esferas elásticas, obtendo finalmente a equação:

l' - l = (h/m_o.c)(1 - cosq)

onde: l' - l = aumento do comprimento de onda para o fóton espalhado; h/m_o.c = comprimento de onde de Compton, onde h é a constante de Planck, m_o a massa em repouso do elétron e c a velocidade da luz e, q = ângulo de espalhamento do fóton de comprimento de onda l'.

O elétron de recuo do efeito Compton foi descoberto simultaneamente por Wilson e por Bothe e Becker.

O efeito Compton ocorre principalmente com elétrons livres ou fracamente ligados e pode ser explicado como uma absorção do fóton incidente pelo elétron livre. A energia deste fóton aparece repartida entre o elétron de recuo e um outro fóton de menor energia. Na explicação deste fenômeno, utiliza-se a idéia de “fotons virtuais”, mas não podemos nestas notas estendermos em sua explicação.

A teoria quântica da luz foi desenvolvida com as idéias de Compton. Continuaram entretanto, sem resposta as perguntas: como era constituÍdo o átomo? como explicar sua natureza?

Mundo Atômico (Parte 1)

Prof. Luiz Ferraz Netto
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Conceito do átomo até Rutherford

Introdução
As idéias sobre a descontinuidade da matéria remontam à época dos antigos filósofos gregos, há mais de 2.000 anos.
Atribui-se, precisamente a eles a idéia de que a matéria é uma combinação de pequenas partes indivisíveis ou inseparáveis a que chamaram átomos. O átomo foi considerado como a unidade indivisível ou indestrutível da matéria. É necessário mencionar, entretanto, que essas idéias sobre a estrutura da matéria foram combatidas durante muitos anos e que os cientistas e filósofos argumentavam com igual convicção sobre uma estrutura continua da matéria, ou seja, uma divisibilidade sem limite.

O caráter e as propriedades dessas unidades de matéria confundiram os pesquisadores durante anos. Alguns conhecimentos com base verdadeiramente científica só foram adquiridos quando no século XIX John Dalton formulou sua teoria atômica.

O fato que sem dúvida alguma intrigava os pesquisadores era que muitas substâncias químicas podiam decompor-se em outras muito mais simples que foram denominadas elementos.

Dalton formulou sua lei das proporções definIdas após experiências cuidadosas que demonstraram que quando dois ou mais elementos se combinam quimicamente para formar um composto, as quantidades relativas desses elementos têm que ajustar-se cuidadosamente a uma proporção definida para que não haja sobra de elementos uma vez terminada a reação. Por exemplo, se o hidrogênio e o oxigênio se combinam para formar a água, a proporção entre eles devia ser 1:8, isto é, o peso de oxigênio tinha de ser oito vezes o peso do hidrogênio; caso contrário, sobraria algo do elemento em excesso ao término da reação.

A lei das proporções múltiplas foi outro dos princípios estabelecidos por Dalton. Segundo essa lei, quando dois ou mais elementos se combinam para formar uma série de compostos, fazem isso sempre de forma tal que sigam uma relação simples. Por exemplo, o oxigênio e o hidrogênio combinam-se para formar a água na proporção em peso de 8:1; entretanto, combinam-se também para dar o peróxido de hidrogênio, no qual a proporção é o dobro, 16:1 ou seja, exatamente o dobro da quantidade de oxigênio do que no caso da água.

De acordo com esses princípios estabelecidos através da experimentação, Dalton convenceu-se que cada elemento químico estava constituído por pequenas unidades indivisíveis, todas iguais, denominadas átomos e que a união dos átomos individuais dava origem à formação da molécula que era a menor unidade possível do composto.

As idéias de Dalton sobre a constituição da matéria foram as primeiras que tiveram por base trabalhos científicos. Elas representaram um avanço extraordinário, principalmente para a Química.

Elétrons e Prótons
O estudo das descargas elétricas através dos gases rarefeitos, isto é, a pressões baixas, apaixonou os cientistas do século XIX; não obstante, foi praticamente no fim do século, que se realizaram experiências que revolucionaram a história da Física e que conduziram a uma 'verdadeira' explicação dos processos que ocorriam nesses fenômenos, apesar dos trabalhos realizados previamente por Faraday.

Em 1854 Heinrich Geissler desenvolveu e aperfeiçoou uma bomba de vácuo, assim como um tubo de descarga, tubo este constituído de um vidro largo, fechado, com eletrodos circulares em suas extremidades, como indicamos na ilustração 23_MA01_01.

23_MA01_01 - Tubo de Geissler

O tubo de descarga tinha uma saída que podia ser acoplada a uma bomba de vácuo, de forma a se poder diminuir a pressão do gás no tubo. Com a montagem referida, podemos estudar a passagem da corrente eletrônica através de um vácuo adequado, aplicando-se uma alta tensão aos eletrodos.

Esse tubo de descarga sofreu numerosas modificações; mas mesmo em sua forma mais simples observaram-se fenômenos interessantes;por exemplo, o que esta indicado na 23_MA01_02.

23_MA01_02- Aspecto da descarga elétrica em um tubo cuja pressão do ar em seu interior é de 0,1 mm de mercúrio.

Quando a pressão do tubo de descarga é da ordem de 10^-5 atmosferas e se aplica uma alta tensão aos eletrodos, digamos, usando uma bobina de indução ou outros meios, aparece um fluxo elétrico constituído por cargas negativas que se deslocam em uma linha reta, do eletrodo negativo ou catodo para o eletrodo positivo ou anodo. A essas radiações provenientes do catodo denominaram-se raios catódicos.

Em 1895 Perrin verificou que os raios catódicos eram um fluxo de eletricidade negativa, recolhendo-os em um cilindro metálico ao qual ligou-se um eletroscópio; entretanto, a natureza dos raios catódicos foi determinada pela primeira vez por Sir J.J.Thomson (1897) que demonstrou que eles se constituíam de partículas muito pequenas carregadas negativamente e que se moviam em grandes velocidades (3 x 10⁹ cm/seg).

Em seus estudos sobre os raios catódicos Thomson submeteu-os a ação de campos magnéticos e elétricos comprovando que eles eram afetados da mesma forma que as partículas portadoras de carga elétrica com “massa" bem definida e que obedeciam a 'dinâmica newtoniana'. Na ilustração 23_MA01_03  temos um tubo de raios catódicos típico.

23_MA01_03 - Experiência de Thomson

23_MA01_04 - Esquema de um tubo de Thomson para medir a velocidade dos raios catódicos.

Até essa época as tentativas para conseguir-se o desvio do feixe de raios catódicos mediante campos eletrostáticos haviam falhado. Thomson conseguiu desviá-los diminuindo a pressão do gás. Assim procedendo, o efeito de blindagem criado pelos íons positivos produzidos pelos choques dos raios catódicos com o gás do tubo diminuía e o desvio do feixe se tornava mais eficiente.

Como resultado de suas experiências, Thomson determinou a chamada carga específica, ou seja a relação da carga com a massa (e/m), para as partículas que constituíam os raios catódicos. Esta relação, e/m, era umas 2000 vezes maior do que a relação já conhecida para o íon do hidrogênio e seu valor era o mesmo independentemente do gás que preenchia o tubo de descarga, assim como do material que constituía o catodo. Concluiu-se, desse modo, que as partículas eram constituintes universais da matéria e receberam o nome de elétrons.

Planejaram-se muitas experiências para determinar a relação carga-massa para o elétron. Na 23_MA01_05 ilustramos o processo de Lennard e Classen (1908). Ao aquecer-se o filamento emitem-se elétrons que são acelerados por uma diferença de potencial, U, entre o filamento e o anodo, A, perfurado.

23_MA01_05 - Procedimento de Lennard e Classen para determinar e/m.

Os elétrons adquirem uma energia crítica:

E_cin. = (1/2)mv² , provocada pela U (diferença de potencial acelerador), ou seja, 

(1/2)mv² = e.U  donde:       e/m = v²/2U ... (1).

Os elétrons, depois de atravessarem a perfuração A, encontram-se submetidos a um campo de indução magnética B (perpendicular ao plano do papel e saindo dele -- o --). Como conseqüência aparece uma força constante e perpendicular à velocidade v dos elétrons. Essa força de Lorentz, que é do tipo de uma resultante centrípeta, faz com que os elétrons sigam uma trajetória circular. Recordamos, que nesse caso, o valor da força que o campo magnético exerce sobre a carga é: F_mag. = evB , então,

F_magnética = F_centrípeta  ou  evB = mv²/R  ... (2)

equação do movimento, na qual R é o raio do semicírculo.
Eliminando v entre (1) e (2), tem-se:

e/m = 2U/B²R²   ...  (3)

Foi possível, graças a essas experiências, estudar a relação entre a massa e a velocidade do elétron até velocidades muito próximas à da luz, comprovando-se a variação da massa com a velocidade como previu a teoria especial da Relatividade conforme vimos nessa Sala 23 -- Relatividade.

Conhecendo a relação e/m e a velocidade da luz é possível calcular o raio r_o do elétron supondo que essa partícula seja uma esfera diminuta superficialmente carregada com a carga e.
De acordo com as idéias da mecânica quântica essa suposição não tem qualquer sentido; porém, de qualquer forma, como as elocubrações teóricas da mecânica quântica também não me fazem qualquer sentido, essa é uma constante útil para exprimir alguns resultados.

Depois do descobrimento do elétron, por Thomson, sucederam-se as teorias sobre a estrutura atômica e a natureza da carga positiva que devia existir em razão da neutralidade dos átomos.

Em 1904 Thomson propôs, por sugestão de Lorde Kelvin, um modelo atômico, considerando o átomo como uma esfera de carga positiva na qual os elétrons estavam distribuídos como “as passas de um pudim”.

Thomson estudou os raios positivos ou raios canais produzidos nos tubos de descarga. Observou-se que esses raios se dirigiam em sentido oposto aos raios catódicos ou seja, em sentido ao catodo. Utilizando-se um catodo com perfurações os raios positivos passavam através das perfurações ou 'canais' e podiam ser examinados nas mesmas condições que os raios catódicos. Experiências realizadas com o objetivo de desviar esses raios, utilizando-se campos elétricos e magnéticos, demonstraram que eles eram constituídos por partículas dotadas de cargas positivas. A massa das partículas variava dependendo do gás residual no tubo de descarga. A partícula mais leve com carga positiva que foi observada tinha uma massa quase igual à do átomo de hidrogênio.Acreditou-se que esta partícula era um íon positivo de hidrogênio, isto é, um átomo de hidrogênio sem um elétron. Sugeriu-se, mais tarde, para esta partícula o nome de próton, da palavra grega protos que significa “primeiro”

Experiências de Rutherford
Apesar da importância extraordinária que a estrutura do átomo apresentava, o modelo atômico de Thomson manteve-se durante mais de uma década,até que em 1911 ele sofreu uma mudança radical pelos trabalhos de Ernest Rutherford na Universidade de Manchester.

No princípio deste século não se dispunham das modernas máquinas aceleradoras (cíclotrons, bétatrons etc.) para produzir feixes de partículas com energias elevadíssimas; dispunham somente de substâncias radioativas naturais como fonte de partículas carregadas: partículas alfa (núcleos de hélio) e partículas beta (elétrons).

Em 1911, Rutherford e seus colaboradores Geiger e Marsden estavam estudando os efeitos de um feixe de partículas alfa (como veremos, carga 2e e massa 4) sobre uma lamina muito delgada de ouro. Como fonte destas partículas, eles utilizaram uma pequena amostra de certos elementos que emitiam espontaneamente as radiações em questão.

O objetivo principal da experiência era observar as direções em que se desviavam as partículas ao atravessarem a lâmina, com uma tela fluorescente (ZnS) colocada atrás da lâmina. A fluorescência algo difusa na tela, provocada pelo feixe de partículas, levou Rutherford a fazer outras investigações.

Geiger e Marsden, por sugestão de Rutherford, utilizando dispositivos especiais de telas e microscópios, observaram que uma fração apreciável de partículas sofriam desvios com ângulos muito grandes; algumas inclusive eram totalmente repelidas. Se as idéias de Thomson sobre o átomo eram corretas, as forças elétricas sobre as partículas alfa seriam fracas e por isso estas partículas deveriam continuar em linha reta após passarem através da fina lâmina de ouro; isto é, não existiria possibilidade alguma para os grandes desvios observados.

Em um trabalho memorável apresentado por Rutherford, ele concluiu de suas experiências que toda a carga positiva e em essência toda a massa de um átomo estavam concentradas em uma região extraordinariamente pequena ,o núcleo.

23_MA01_06 - Experiência famosa de Rutherford que permitiu postular o conceito do núcleo

As colisões frontais com estes diminutos núcleos dotados de massa e com carga positiva explicam os desvios acentuados sofridos por um número pequeno das partículas alfa. Isso significa que forças extraordinárias atuavam sobre as partículas alfa para produzir os desvios observados. Ainda a distâncias muito pequenas as leis de Coulomb para as cargas permaneciam válidas. O tamanho do núcleo se mantinha em 10^-13 — 10^-12 cm, enquanto que átomo tinha dimensões da ordem de 10^-6 cm!. O átomo era praticamente espaço vazio! A massa e a carga positiva se reuniam em um núcleo extraordinariamente pequeno e denso, enquanto que os elétrons estavam ao redor deste núcleo a distancias relativamente grandes.
O modelo atômico de Rutherford parecia a solução para o problema da estrutura atômica; não obstante, de acordo com o modelo referido, os elétrons não poderiam permanecer estacionários, isto é, sem mover-se como estabelecia o modelo de Thomson, dada a forte atração eletrostática do núcleo. Logo, a única solução é que os elétrons se movem em órbitas, que poderiam ser comparadas com a dos planetas, ao redor do núcleo.

23_MA01_07 - O átomo de Rutherford

Do ponto de vista dinâmico não haveria dificuldade em explicar este fato, pois tudo estaria de acordo com as leis de Newton e as de Coulomb; porem examinemos a teoria eletromagnética, bem conhecida naquela época e observaremos que "toda carga elétrica acelerada irradia energia na forma de ondas eletromagnéticas”. De acordo com isso um elétron que gira ao redor do núcleo perderia ou irradiaria energia, e seu movimento seguiria uma trajetória em espiral, terminando finalmente por precipitar-se sobre o núcleo. 

23_MA01_08 - O elétron, de acordo com a 'teoria eletromagnética clássica', terminaria precipitando-se sobre o núcleo.

Não obstante, tal fato não se verifica no caso dos átomos ou tudo o que nos rodeia, pois nos mesmos estaríamos entrando em colapso ou contrariando a nós mesmos (ilustração 23_MA01_08).

Acaso a Física do átomo é diferente?

As respostas a estas perguntas foram dadas, ou melhor ainda, contestadas em parte, pela teoria quântica que eliminou os conceitos de “partículas” e “ondas” como questões puras, separadas, harmonizando os dois conceitos.

Teoria Quântica de Planck e o Efeito Fotoelétrico
O século XX, com razão, tem sido chamado de Era Atômica. Os trabalhos experimentais e as teorias vem se sucedendo de forma extraordinária desde 1900. Max Planck iniciou uma nova etapa com sua teoria quântica para explicar o espectro da radiação de um corpo negro considerando como tal um corpo que absorva todas as radiações e que, portanto, seja também o melhor emissor de radiação (leis de Kirchoff).
Na prática, obtém-se um corpo negro abrindo-se um pequeno orifício na parede de uma cavidade que se mantém a uma temperatura fixa. O orifício comporta-se, neste caso, como um corpo negro. Com efeito, a radiação que penetra por ele sofre inúmeras reflexões e absorções nas paredes, existindo uma probabilidade mínima de que “saia uma fração apreciável da energia incidente”.

Planck derivou uma formula para o espectro desta radiação como uma função da temperatura do corpo, estabelecendo que a radiação não seria emitida, nem absorvida em forma contínua, senão em porções definidas a que chamou de quantos de energia.

A energia de um quanto relacionava-se com a freqüência da radiação emitida ou absorvida mediante a relação E = hn em que h é a constante de Planck, tendo o valor de 6,63 x 10^-34 joules/segundo e n  é a freqüência em segundo^-1 ou Hz.

Apesar do valor científico da teoria de Planck, deve-se acrescentar que, ainda que ela postulasse que a radiação emitida por um corpo aquecido se realizava de forma descontínua, mediante quanta, Planck aceitava que a “radíação se propagava de forma contínua através do espaço como ondas eletromagnéticas”.

Albert Einstein interpretou de uma maneira mais ampla esta teoria, estabelecendo que a luz não somente é emitida em forma de quanta mas que se propaga na forma de “quanto individuais”. O efeito fotoelétrico que havia sido observado foi explicado por Einstein aplicando as condições quânticas de Planck.

O efeito fotoelétrico
No fim do século XIX observaram-se certos fenômenos que estavam em contradição com a representação ondulatória da luz. Com efeito, ao se iluminar com luz ultravioleta os eletrodos entre os quais se produz uma descarga elétrica, esta aumenta de intensidade (efeito observado por Hertz, em 1887). Observou-se, posteriormente, que ao iluminar-se laminas de certos metais (Zn, Na etc.) carregadas negativamente e unidas a um eletroscópio, este descarregava-se. Isso significava que as superfícies limpas dos metais podem emitir elétrons se iluminadas com luz de uma freqüência apropriada para cada metal. Nesse caso, a emissão eletrônica é produzida simultaneamente com a iluminação da superfície, é independente da intensidade luminosa, porem depende da freqüência da luz incidente.

23_MA01_09 - Efeito fotoelétrico

Isto é, a energia dos elétrons emitidos (chamados fotoelétrons) depende somente da freqüência da luz incidente e unicamente o número de elétrons desprendidos é proporcional à intensidade da luz.

Se analisarmos com cuidado este fenômeno, observaremos que: para emitir um fotoelétron de 1 ev de energia, com base na teoria ondulatória da luz, isto é, descartando a teoria de Einstein e utilizando luz ultravioleta sobre uma superfície de sódio, seria necessário quase um ano para arrancar um elétron da superfície de um metal!

Utilizando-se a teoria de Einstein e se se considera a luz como uma corrente de pequenas unidades chamadas fótons, dotados cada uma de uma energia hn, o efeito fotoelétrico pode facilmente ser explicado. Com efeito, suponhamos que Ø seja a energia necessária para extrair um elétron de um metal, sendo mínima para os elétrons muito próximos da superfície. Quando um fóton cede sua energia a um elétron do metal, parte dessa energia é utilizada para arrancar o elétron e a energia restante para proporcionar energia cinética. Portanto,

hn = (1/2)mv² + Ø  ...  (4)

em que: Ø = energia necessária para arrancar o elétron do metal; tem um valor característico para cada metal; (1/2)mv² = energia cinética dos fotoelétrons e hn = energia do fóton ou quanto de luz incidente.

O valor de Ø é relativamente pequeno para os metais alcalinos (Na, K etc), de maneira que a luz correspondente à parte visível do espectro é suficiente para desprender elétrons desses metais. Para metais como o Zn (zinco), Ø é muito maior e, como conseqüência, deve utilizar-se luz ultravioleta (freqüência elevada) para produzir o efeito fotoelétrico.

A energia necessária para arrancar um elétron ou um fotoelétron do material depende da posição do elétron, sendo mínima para os elétrons da superfície. Indicando com Ø_o esta energia teremos para a máxima energia dos fotoelétrons:

[(1/2)mv²]_máx. = hn - Ø_o   ... (5)

Logo, nem todos os fotoelétrons emitidos por um material têm a mesma energia, pois possuem energia diferentes, até um valor máximo.
Se colocamos em um gráfico a energia dos fotoelétrons no efeito fotoelétrico, em função da freqüência, obteremos a figura (23_MA01_10) ilustrada a seguir:

23_MA01_10 - Energia máxima dos fotoelétrons emitidos em função da freqüência da luz utilizada para produzir o efeito fotoelétrico.

na qual se observa o valor n_o denominado freqüência limiar ou mínima. Abaixo deste valor não há emissão de fotoelétrons.

De acordo com a teoria quântica:  n_o = Ø_o/h   ...  (6), de modo que a equação (5) pode ser escrita, também, sob a forma:  [(1/2)mv²]_máx. = hn - hn_o    ... (7).

A interpretação que Einstein ofereceu para, o efeito fotoelétrico nos leva a imaginar que “a luz se propaga no espaço por meio de quanta de energia ou fótons de valor  hn  que ao chocar com um elétron ou átomo, podem ser absorvidos”, abandonando assim a teoria ondulatória, excelente para explicar a reflexão, a refração, os fenômenos de interferência, a difração etc.

Sem duvida alguma, após estudar este fenômeno fotoelétrico, poderíamos perguntar-nos se seria possível, o oposto, converter a energia de um elétron em movimento em um fóton?
A resposta é afirmativa e praticamente foi estudada por Roentgen, em 1895, ao produzir raios X bombardeando um alvo (metal) com elétrons energéticos. Entretanto, a natureza ondulatória dos raios X (ondas eletromagnéticas) foi determinada posteriormente à teoria de Einstein e mais adiante a mencionaremos com mais pormenores.

Como mencionamos, no princípio, as idéias sucedem-se com rapidez extraordinária: o átomo de Bohr (nova idéia sobre a constituição do átomo), o efeito Compton, o estudo dos raios X (difração, a polarização etc.), as idéias de De Broglie sobre a dualidade onda-partícula e enfim uma série de fenômenos intermináveis conduzem ao desenvolvimento das idéias mirabolantes da Mecânica Quântica com a concepção atual do átomo; mas seguindo nosso desenvolvimento mais ou menos histórico passemos agora ao estudo do átomo de Bohr.

Lei de Gauss

Vamos supor que temos um conjunto de cargas positivas e negativas, que estabelecem um campo elétrico. E numa certa região do espaço. Imaginemos uma superfície fechada dentro desse espaço, chamada superfície gaussiana, que pode envolver ou não alguma das cargas elétricas. A lei de Gauss, relaciona o fluxo total  (ΦE) que atravessa essa superfície com a carga total q envolvida por ela, provenientes das cargas elétricas. Dessa forma:

ou

Onde:
ΦE é o fluxo;
Є0 é a constante de permissividade no vácuo;
q a carga elétrica.

Exemplo 1: A figura abaixo mostra um cilindro hipotético fechado, de raio r, dentro de um campo elétrico uniforme E. O eixo do cilindro é paralelo ao campo. Determine o valor do fluxo (ΦE) através da superfície gaussiana.

Solução: O fluxo ΦE é a soma de três termos, três integrais: (a) sobre a base esquerda do cilindro, (b) sobre a superfície cilíndrica e (c) sobre a base direita do cilindro. Logo:

O ângulo θ em todos os pontos da base esquerda é 180°, E é constante, e os vetores dA são todos paralelos. Portanto,

Onde A (=πR²) é a área da base esquerda. Do mesmo modo, para a base direita:

Neste caso o ângulo θ é nulo em todos os pontos. Finalmente, para a superfície cilíndrica:

porque θ = 90°;donde E.dA = 0 em todos os pontos dessa superfície. Logo o fluxo total vale:

Podemos ver então que a Lei de Gauss estabelece que ΦE é nulo porque a superfície não envolve nenhuma carga.

A escolha da superfície gaussiana é arbitrária. Usualmente, é escolhida de forma que a simetria da distribuição, em pelo menos uma parte da superfície, resulte num campo elétrico constante que pode ser explicitado através da formula:

Nessas condições, a lei de Gauss pode ser utilizada para calcular o campo elétrico.

Fontes
Física 3, Halliday.

Apud InfoEscola.

Lei de Coulomb

Charles A. Coulomb (1738 - 1806)

Partículas eletrizadas podem se interagir através da atração, quando as cargas elétricas delas possuem sinais opostos, e por repulsão, quando a carga elétrica for de sinais iguais. A lei que rege essa interação é a Lei de Coulomb.
A lei de Coulomb é o cálculo das forças de interação de duas partículas, sendo que essas forças de interação são iguais. Para calcular a intensidade dessa força precisamos das cargas elétricas das partículas e da distância entre elas.
Podemos atribuir o seguinte: Q e q  para os valores das cargas de todas as partículas, e d para a distância que uma partícula se encontra da outra. Assim, segundo a lei de Coulomb a intensidade da força de interação das partículas é calculada por:

F = K | Q . q |
             d ²

K é uma constante de proporcionalidade, se o meio que se encontram as partículas for o vácuo, K é chamada de constante eletrostática e seu valor é:
K = 9 . 10⁹ unidades do SI
Veja como aplicar essa fórmula:
Determine o módulo da força de intensidade entre duas partículas eletrizadas com
+ 4,0 µC e -3,0 µC. Estando elas no vácuo à distância de 6,0 cm uma da outra.
Como as cargas têm sinais opostos elas se atraem. A distância tem que estar em metros então:
6,0 cm = 6,0 . 10^-2 m
Aplicando a Lei de Coulomb F = K | Q . q | temos:
                                                         d ²
F = 9 . 10⁹ . 4,0 . 10^-6 . 3,0 . 10^-6
(6,0 . 10^-2)²
F = 108 . 10^-3
36 . 10^-4
F = 3 . 10
F = 30 N
Vamos ressaltar os submúltiplos do Coulomb
mc = 10^-3 C -----milicoulomb
µC = 10^-6 C ------- microcoulomb
nC = 10^-9 C ------- nanocoulomb  
pC = 10^-12 C ------ picocoulomb
Quando o meio em que se encontram as cargas não for o vácuo, o valor de K depende da permissividade absoluta.

Por Danielle de Miranda
Equipe Brasil Escola